GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Hessesche Normalform</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Hessesche Normalform</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die hessesche Normalform, Hesse-Normalform oder hessesche Normalenform ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> eine spezielle Form einer <a href="Geradengleichung" title="Geradengleichung">Geradengleichung</a> oder <a href="Ebenengleichung" title="Ebenengleichung">Ebenengleichung</a>. Dabei wird eine Gerade oder Ebene mithilfe eines <a href="Einheitsvektor" title="Einheitsvektor">normierten</a> <a href="Normalenvektor" title="Normalenvektor">Normalenvektor</a> der Gerade bzw. Ebene sowie ihres <a href="Abstand" title="Abstand">Abstands</a> vom Koordinatenursprung beschrieben; es handelt sich demnach um eine spezielle <a href="Normalenform" title="Normalenform">Normalenform</a>.

Die hessesche Normalform dient häufig dazu, den Abstand eines Punktes zu einer Geraden (im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy">) oder einer Ebene (im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy">) zu berechnen. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker <a href="Otto_Hesse" title="Otto Hesse">Otto Hesse</a> benannt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hessesche_Normalform_einer_Geradengleichung">Hessesche Normalform einer Geradengleichung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vektorform">Vektorform</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e61c9a3a3340ecb35a2be480f535e90026eaa15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}" loading="lazy"> ein normierter Normalenvektor (Normaleneinheitsvektor) einer Geraden in der <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Ebene</a>, sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74c3a2cca0c610ded6e0f188788933fb11f07df4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.477ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle d\geq 0}" loading="lazy"> ihr Abstand vom Koordinatenursprung, so besteht die Gerade aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"> die Gleichung

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8ef03b09790ba20256a3f29424b52372e1d2571.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.775ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0}" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllen. Hierbei bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }" loading="lazy"> das <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a>.

Der Normalenvektor ist ein Vektor, der orthogonal zu der Geraden ist, d. h. einen <a href="Rechter_Winkel" title="Rechter Winkel">rechten Winkel</a> mit ihr bildet.

Als Normaleneinheitsvektor muss er die <a href="Vektor#Länge/Betrag_eines_Vektors" title="Vektor">Länge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\vec {n}}_{0}|=1}">

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\vec {n}}_{0}|=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eee465774fbe9a7b987a1f70421c0367c1f3561d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.004ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |{\vec {n}}_{0}|=1}" loading="lazy"> besitzen und er muss vom Koordinatenursprung in Richtung der Geraden zeigen, es muss also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fbc7076085c2cc54dd237f8221593ff3d4269be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.719ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0}" loading="lazy"> gelten.

In der hesseschen Normalform werden demnach die Punkte der Geraden implizit dadurch definiert, dass das Skalarprodukt aus dem Ortsvektor eines Geradenpunkts und dem Normalenvektor der Geraden gleich dem Abstand der Geraden vom Ursprung ist. Ein Punkt, dessen Ortsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"> die Gleichung nicht erfüllt, liegt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6df1a7c9abfd5743f0d8f6a8687a2030c5afa35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.772ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d}" loading="lazy"> auf derjenigen Seite der Geraden, in die der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite. Der Koordinatenursprung befindet sich immer auf der negativen Seite der Geraden, sofern sie keine <a href="Ursprungsgerade" title="Ursprungsgerade">Ursprungsgerade</a> ist.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiel">Beispiel</h4></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18ddd27498df9b7f1a8b1121ad4de06dbe6c1769.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.207ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> ein Normaleneinheitsvektor einer Geraden und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=6/5}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=6/5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d4bc985079b46ab40cfcb586d864794b4c4bce8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.802ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d=6/5}" loading="lazy"> der Abstand der Geraden vom Ursprung, so erhält man die Normalform

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {3}{5}}\,x+{\frac {4}{5}}\,y-{\frac {6}{5}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7882e139da9f586ae77f7be2a7fe64629078aa91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.197ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {3}{5}}\,x+{\frac {4}{5}}\,y-{\frac {6}{5}}=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Jede Wahl von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}" loading="lazy">, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03972a1096453eb69d2337a01165887760403a8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2,0)}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-2,3)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-2,3)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96be7f35f6e7549058c3ceb0fd0608d84911e34a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-2,3)}" loading="lazy">, entspricht dann einem Geradenpunkt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Berechnung">Berechnung</h4></div>

Aus der <a href="Normalenform#Normalenform_einer_Geradengleichung" title="Normalenform">Normalenform einer Geradengleichung</a> mit Stützvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"> und Normalenvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49569db585c1b6306d5ffd91161775f67235fae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}}" loading="lazy"> lässt sich ein normierter und vorzeichenbehafteter Normalenvektor der Geraden durch

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls</mtext>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls</mtext>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\begin{cases}{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}\geq 0,\\-{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}<0.\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28f4ebc6fb08af0bfdfd5d36e957ec1066249bb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.143ex; margin-bottom: -0.195ex; width:29.204ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\begin{cases}{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}\geq 0,\\-{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}<0.\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

bestimmen. Der Abstand der Geraden vom Ursprung kann dann durch

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/764e8c0be0086d359211a93a18ee33f318161af1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.768ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle d={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}_{0}}" loading="lazy"></dd></dl>

ermittelt werden. Dieser Abstand entspricht gerade der Länge der <a href="Orthogonalprojektion" title="Orthogonalprojektion">Orthogonalprojektion</a> des Vektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"> auf die <a href="Ursprungsgerade" title="Ursprungsgerade">Ursprungsgerade</a> mit Richtungsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e61c9a3a3340ecb35a2be480f535e90026eaa15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}" loading="lazy">.

Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der <a href="Allgemeine_Koordinatenform#Allgemeine_Koordinatenform_einer_Geradengleichung" title="Allgemeine Koordinatenform">allgemeinen Koordinatenform</a>, der <a href="Achsenabschnittsform#Achsenabschnittsform_einer_Geradengleichung_in_der_Ebene" title="Achsenabschnittsform">Achsenabschnittsform</a>, der <a href="Parameterform#Parameterform_einer_Geradengleichung" title="Parameterform">Parameterform</a> und der <a href="Zweipunkteform" title="Zweipunkteform">Zweipunkteform</a>, wird zunächst die zugehörige Normalenform der Geraden ermittelt (siehe <a href="Normalenform#Berechnung" title="Normalenform">Berechnung der Normalenform</a>) und daraus dann die hessesche Normalform.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Abstandsberechnung">Abstandsberechnung</h4></div>

Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der <a href="Abstand" title="Abstand">Abstand</a> eines beliebigen Punkts <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> in der Ebene von einer Geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> einfach dadurch berechnet werden, dass der Ortsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {q}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {q}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a4e063f8ee7dae2488859c45a4e645db5148085.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.309ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {q}}}" loading="lazy"> des Punkts in die linke Seite der Geradengleichung eingesetzt wird:

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(Q,g)={\vec {q}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bee93bf950e0a39699421237492e402831ce0b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.605ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(Q,g)={\vec {q}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dieser Abstand ist <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">vorzeichenbehaftet</a>: Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(Q,g)>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(Q,g)>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d159c75e4b8ad848d584bfe296756c67d1ddf917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.274ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(Q,g)>0}" loading="lazy"> liegt der Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> auf derjenigen Seite der Geraden, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

Alternativ kann man den <a href="Betragsfunktion" title="Betragsfunktion">absoluten Betrag</a> verwenden:

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(Q,g)=|{\vec {q}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbdd7b600a9ab9c2ed1fb2693567eb96283ac313.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.899ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(Q,g)=|{\vec {q}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d|}" loading="lazy"></dd></dl>

oder sogar den (nicht normierten) Normalenvektor benutzen:

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(Q,g)=\left|{\frac {{\vec {q}}\cdot {\vec {n}}-d}{|{\vec {n}}|}}\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08af850848006a5dea3283a878052b0831fbe051.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:20.68ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle d(Q,g)=\left|{\frac {{\vec {q}}\cdot {\vec {n}}-d}{|{\vec {n}}|}}\right|}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Koordinatenform">Koordinatenform</h3></div>

Die <a href="Allgemeine_Koordinatenform#Allgemeine_Koordinatenform_einer_Geradengleichung" title="Allgemeine Koordinatenform">allgemeine Koordinatenform einer Geradengleichung</a> ist

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax+by+c=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26ffa3f9c01bec425db7c1acc330497b6831697b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.661ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ax+by+c=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dividiert man diese Gleichung durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}">

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/460372bc2a2886a1a99b9280394eb32ec5c4fea4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.5ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}" loading="lazy">, erhält man die Hessesche Normalform der Koordinatengleichung:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {ax+by+c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cadceebdab841e66ad54bc623ff420a97bb7a7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:16.497ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {ax+by+c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Eigenschaften:

Der Abstand eines Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{0},y_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{0},y_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29c296094af9a1c665425debeac5eaab99a37a04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{0},y_{0})}" loading="lazy"> von der Geraden ist

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(x_{0},y_{0})=\left|{\frac {ax_{0}+by_{0}+c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right|\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ba6f909ff5a961032d8c8fc18eb0ec7ca83fae1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.325ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle d(x_{0},y_{0})=\left|{\frac {ax_{0}+by_{0}+c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right|\ }" loading="lazy">, speziell: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad d(0,0)=\left|{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right|}">

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad d(0,0)=\left|{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e4c00123025de51c9b9b5bc44bc4cc912f62685.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:23.435ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \quad d(0,0)=\left|{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right|}" loading="lazy">.</dd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}=\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)^{T}\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70d3b334c3b845697dd3c7c75bcbba235243dbb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:34.647ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}=\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)^{T}\quad }" loading="lazy"> ist ein Einheitsnormalenvektor der Geraden.</dd></dl>

Ist die Geradengleichung in expliziter Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=mx+d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=mx+d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84a285cacddbde2f4ef6de014a7e242c8b78e60d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y=mx+d}" loading="lazy">, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ a=m,\;b=-1,\;c=d\ }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ a=m,\;b=-1,\;c=d\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/442fc6db76a697319b48c82cacd29ab4cfe8adba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.276ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ a=m,\;b=-1,\;c=d\ }" loading="lazy">. Die zur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse parallele Gerade mit der Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abd9c1ca436ebae0cc8a13d6add98eb9de0dcaf6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.644ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=d}" loading="lazy"> hat die Hessesche Normalform <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-d=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-d=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/320ce47164c2cd933f3c1e03658785a5e2dc4b77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.647ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x-d=0}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hessesche_Normalform_einer_Ebenengleichung">Hessesche Normalform einer Ebenengleichung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Darstellung">Darstellung</h3></div>

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der hesseschen Normalform durch einen normierten (möglicherweise mit einem Vorzeichen versehenen) Normalenvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e61c9a3a3340ecb35a2be480f535e90026eaa15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}" loading="lazy"> der Ebene sowie ihren Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74c3a2cca0c610ded6e0f188788933fb11f07df4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.477ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle d\geq 0}" loading="lazy"> vom Koordinatenursprung beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"> die Gleichung

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8ef03b09790ba20256a3f29424b52372e1d2571.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.775ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0}" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllen. Der Normalenvektor ist hier ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Der Normalenvektor muss wiederum die Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\vec {n}}_{0}|=1}">

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\vec {n}}_{0}|=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eee465774fbe9a7b987a1f70421c0367c1f3561d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.004ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |{\vec {n}}_{0}|=1}" loading="lazy"> besitzen und vom Koordinatenursprung in Richtung der Ebene zeigen, es muss also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fbc7076085c2cc54dd237f8221593ff3d4269be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.719ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0}" loading="lazy"> gelten.

In der hesseschen Normalform werden demnach die Punkte der Ebene implizit dadurch definiert, dass das Skalarprodukt aus dem Ortsvektor eines Ebenenpunkts und dem Normalenvektor der Ebene gleich dem Abstand der Ebene vom Ursprung ist. Wiederum liegt ein Punkt, dessen Ortsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"> die Gleichung erfüllt, auf der Ebene. Gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6df1a7c9abfd5743f0d8f6a8687a2030c5afa35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.772ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d}" loading="lazy">, dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite. Der Koordinatenursprung befindet sich immer auf der negativen Seite der Ebene, sofern sie keine <a href="Ursprungsebene" title="Ursprungsebene">Ursprungsebene</a> ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_2">Beispiel</h3></div>

Ist beispielsweise ein normierter Normalenvektor einer gegebenen Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\begin{pmatrix}2/3\\1/3\\-2/3\end{pmatrix}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\begin{pmatrix}2/3\\1/3\\-2/3\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/483f4d5651a12ee27cfbef59c14799543a7e707d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:15.661ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\begin{pmatrix}2/3\\1/3\\-2/3\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> und der Abstand der Ebene vom Ursprung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=4/3}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=4/3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c13d9929e6ac12bfdd28dccb48d8b74e515bfdd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.802ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d=4/3}" loading="lazy">, so erhält man als Ebenengleichung

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {2}{3}}\,x+{\frac {1}{3}}\,y-{\frac {2}{3}}\,z-{\frac {4}{3}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae4bd4912b9ba4afceefa95c5ef96840a9973c59.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.511ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {2}{3}}\,x+{\frac {1}{3}}\,y-{\frac {2}{3}}\,z-{\frac {4}{3}}=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Jede Wahl von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y,z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y,z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22a8c93372e8f8b6e24d523bd5545aed3430baf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.45ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y,z)}" loading="lazy">, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,2,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,2,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba3727b1ea83c2e5d1ddc4e6be1b6330e039e749.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.365ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,2,0)}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2,-2,-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2,-2,-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3835febabf41aed96d87990d846769fa9eca1058.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.981ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2,-2,-1)}" loading="lazy">, entspricht dann einem Ebenenpunkt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnung_2">Berechnung</h3></div>

Aus der <a href="Normalenform#Normalenform_einer_Ebenengleichung" title="Normalenform">Normalenform einer Ebenengleichung</a> mit Stützvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"> und Normalenvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49569db585c1b6306d5ffd91161775f67235fae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}}" loading="lazy"> lässt sich ein normierter und vorzeichenbehafteter Normalenvektor der Ebene wie im zweidimensionalen Fall durch

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls</mtext>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls</mtext>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\begin{cases}{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}\geq 0,\\-{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}<0.\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28f4ebc6fb08af0bfdfd5d36e957ec1066249bb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.143ex; margin-bottom: -0.195ex; width:29.204ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\begin{cases}{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}\geq 0,\\-{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}<0.\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

bestimmen. Der Abstand der Ebene vom Ursprung kann dann durch

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/764e8c0be0086d359211a93a18ee33f318161af1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.768ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle d={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}_{0}}" loading="lazy"></dd></dl>

ermittelt werden. Dieser Abstand entspricht wiederum der Länge der Orthogonalprojektion des Vektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"> auf die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e61c9a3a3340ecb35a2be480f535e90026eaa15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}" loading="lazy">.

Aus den weiteren Formen von Ebenengleichungen, der <a href="Koordinatenform#Allgemeine_Koordinatenform_einer_Ebenengleichung" class="mw-redirect" title="Koordinatenform">Koordinatenform</a>, der <a href="Achsenabschnittsform#Achsenabschnittsform_einer_Ebenengleichung" title="Achsenabschnittsform">Achsenabschnittsform</a>, der <a href="Parameterform#Parameterform_einer_Ebenengleichung" title="Parameterform">Parameterform</a> und der <a href="Dreipunkteform" title="Dreipunkteform">Dreipunkteform</a>, wird zunächst die zugehörige Normalenform der Ebene ermittelt (siehe <a href="Normalenform#Berechnung_2" title="Normalenform">Berechnung der Normalenform</a>) und daraus dann die hessesche Normalform.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Abstand">Abstand</h3></div>

Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der Abstand eines beliebigen Punkts <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> im Raum von einer Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> wiederum dadurch berechnet werden, dass der Ortsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {q}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {q}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a4e063f8ee7dae2488859c45a4e645db5148085.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.309ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {q}}}" loading="lazy"> des Punkts in die Ebenengleichung eingesetzt wird:

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(Q,E)={\vec {q}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19896ff1b3f12a2600577ea9e12dcaaff4e52fef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.264ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(Q,E)={\vec {q}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dieser Abstand ist wieder vorzeichenbehaftet: Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(Q,E)>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(Q,E)>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd6081202de787a34bf65df4d745900d0d84a46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(Q,E)>0}" loading="lazy"> liegt der Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Alternative_Formulierung_mit_einem_Stützvektor">Alternative Formulierung mit einem Stützvektor</h2></div>

Obwohl häufig die Abstandsberechnung mithilfe der hesseschen Normalform mithilfe eines Abstandes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> zum Koordinatenursprung gelehrt wird, wird gelegentlich auf eine ähnliche hessesche Normalenform mit <a href="St%C3%BCtzvektor" class="mw-redirect" title="Stützvektor">Stützvektor</a> zurückgegriffen.<a href="#cite_note-bigalke-ma3-1">[1]</a>

Die hessesche Normalenform einer Ebene lautet dann

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\colon \,({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77822f4d420ef350329134469afa6c3a2d51dfbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.89ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E\colon \,({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"> ein Stützvektor der Ebene ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Abstandsformel">Abstandsformel</h3></div>

Daraus ergibt sich dann die Abstandsformel für einen Punkt Q mit dem Ortsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {q}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {q}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a4e063f8ee7dae2488859c45a4e645db5148085.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.309ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {q}}}" loading="lazy"> von der Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> mit dem Stützvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"> und dem Normaleneinheitsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e61c9a3a3340ecb35a2be480f535e90026eaa15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}" loading="lazy">

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(Q,E)=|({\vec {q}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}_{0}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66c6bf5d00852c0019a81661bdc87905b86211aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.477ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(Q,E)=|({\vec {q}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}_{0}|}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerung_für_Hyperebenen">Verallgemeinerung für Hyperebenen</h2></div>

Allgemein wird durch die hessesche Normalform eine <a href="Hyperebene" title="Hyperebene">Hyperebene</a> im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Hyperebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"> die Gleichung

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8ef03b09790ba20256a3f29424b52372e1d2571.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.775ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0}" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-komponentigen statt mit zwei- oder dreikomponentigen Vektoren gerechnet.<a href="#cite_note-2">[A 1]</a> Eine Hyperebene teilt den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen Raum in zwei Teile, die <a href="Halbraum" title="Halbraum">Halbräume</a> genannt werden. Ein Punkt, dessen Ortsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"> die Gleichung erfüllt, liegt genau auf der Hyperebene. Gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6df1a7c9abfd5743f0d8f6a8687a2030c5afa35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.772ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d}" loading="lazy">, dann liegt der Punkt in demjenigen Halbraum, in den der Normalenvektor zeigt, ansonsten in dem anderen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Otto Hesse führte 1865 in seinem Buch Analytische Geometrie neben der allgemeinen Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ax+by+c=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax+by+c=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26ffa3f9c01bec425db7c1acc330497b6831697b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.661ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ax+by+c=0}" loading="lazy"> einer Geradengleichung die Normalform

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta -\delta =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aba514eab61a9411e3f9a8e74c9a04824f34d0cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.066ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta -\delta =0}" loading="lazy"></dd></dl>

ein. Dabei sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ,\beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ,\beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4b46b57cfa0011b643037751809904d915c1b48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.854ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha ,\beta }" loading="lazy"> die Winkel der Normalen durch den Nullpunkt gegenüber den Koordinatenachsen und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> der Abstand der Geraden vom Nullpunkt. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos \beta =\sin \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \beta =\sin \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a535c9d0353fdadc835058c2cda28de1d3beb1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.659ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \cos \beta =\sin \alpha }" loading="lazy"> ist, schreibt man heute

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -\delta =0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acd599aba650a879a53944324f1321d69d0f030d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.613ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -\delta =0.}" loading="lazy"></dd></dl>

Analog ist die Normalform einer Ebene erklärt.

Hesse zeigt die wichtige geometrische Eigenschaft der Normalform: Man kann mit ihr auf einfache Weise den Abstand eines Punktes von einer Geraden oder einer Ebene bestimmen.

Diese vorteilhafte Art, eine Gerade oder Ebene zu beschreiben, wurde später von Autoren übernommen und als Hessesche Normalform bezeichnet.<a href="#cite_note-3">[2]</a>

In Hesses Buch ist auch die übliche Umrechnung der allgemeinen Form in die Normalform durch Multiplikation mit dem Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}">

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69463c6551f71f5aa3da93e00f6237dc5239e28f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:6.996ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}" loading="lazy"> enthalten.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Formel_von_Ascoli" title="Formel von Ascoli">Formel von Ascoli</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> In der Literatur wird die Darstellung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-d=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-d=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/296162c80338571ded8ed1f600e8039919984888.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.721ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-d=0}" loading="lazy"> einer Hyperebene manchmal auch dann als Hessesche Normalform bezeichnet, wenn der Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49569db585c1b6306d5ffd91161775f67235fae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}}" loading="lazy"> nicht normiert ist.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Otto Hesse: Vorlesungen aus der Analytischen Geometrie der graden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene. E. B. Teubner, Leipzig 1865, S. 14 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/bub_gb_at6qA3g2YDwC/mode/1up">archive.org</a>).</li>

<li><a href="Alfred_Clebsch" title="Alfred Clebsch">Alfred Clebsch</a>, <a href="Ferdinand_von_Lindemann" title="Ferdinand von Lindemann">Ferdinand Lindemann</a>: Vorlesungen über Geometrie. Springer, Wiesbaden 1891, ISBN 978-3-663-15770-0, S. 11.</li>

<li><a href="Lothar_Papula" title="Lothar Papula">Lothar Papula</a>: Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-9598-1.</li>

<li><a href="Harald_Scheid" title="Harald Scheid">Harald Scheid</a>, Wolfgang Schwarz: Elemente der Linearen Algebra und der Analysis. Springer, 2009, ISBN 978-3-8274-2255-2.</li>

<li>Wilhelm Leupold et al.: Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band III. Verlag Harri Deutsch, 1969, ISBN 3-871-44041-8, S. 35–40.</li>

<li><a href="Edmund_Weitz" title="Edmund Weitz">Edmund Weitz</a>: Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker. 2. Auflage. Springer Spektrum, 2021, ISBN 978-3-662-62617-7, S. 379–383.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-bigalke-ma3-1"><a href="#cite_ref-bigalke-ma3_1-0">↑</a> Anton Bigalke, Norbert Köhler (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Mathematik. Gymnasiale Oberstufe Berlin Grundkurs ma-3</cite>. Cornelsen Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-06-040003-4, S. 137.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hessesche+Normalform&rft.btitle=Mathematik.+Gymnasiale+Oberstufe+Berlin+Grundkurs+ma-3&rft.date=2011&rft.genre=book&rft.isbn=9783060400034&rft.pages=137&rft.place=Berlin&rft.pub=Cornelsen+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> M. Koecher, A. Krieg: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-49328-0, S. 114.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2026-01-14" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Hessesche_Normalform&oldid=263332577">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>